无论咱们在一个全国中作念什么
图片
假定你正靠近一个复杂且难以处理的问题，你有能力将这个问题再行表述为一个新的、较容易的问题。这么，你不仅不错处理这个简化后的问题，还不错将其解法鼎新回原来的复杂问题。这即是拉普拉斯变换的中枢。
它本质上是一个捷径，在某些情况下将大学水平的问题转机为高中水平的问题。具体来说，它将微积分转机为代数，将一些特地贫瘠的方程转机为不那么贫瘠的方程。
不那么为东说念主所知的是，拉普拉斯变换在纯数学中也特地有用。
我但愿你从著述中记取一个迫切不雅点，
在数学中，存在两个平行的边界，每次你对一个函数进行操作时，其实是在同期对两个不同的方面进行处理。
界说、例子和性质
拉普拉斯变换界说如下：
假定有一个变量t的函数f，那么拉普拉斯变换ℒ(f)是另一个变量s的函数F，界说为：
图片
这些变量称呼的背后原因是，当以物理学的角度解释拉普拉斯变换时，咱们会将一个信号默示为时刻的函数，并将其鼎新为一个默示（复）频率的函数的信号。咱们不会探讨这种对应关系的信得过含义，但我不错告诉你，它与它的姐妹——傅里叶变换关系。
首页-海加慧麻类有限公司看守，F不是f的反导函数。积分上限中的无尽大象征应被解释为取极限，即
图片
假定极限存在。
让咱们看一个例子。让咱们礼聘最苟简的函数之一：f(t) = t。
咱们不错使用分部积分获取以下成果：
图片
在此经由中，咱们使用了洛必达法例，你只需看守，当f(t) = t时，F(s) = 1/s²。
同理，咱们不错更苟简地得出论断：当原函数 ()=1时，其拉普拉斯变换 ()等于 1/。
让咱们望望在“平行”全国中，在时域内乘以一个指数是什么形式的。
图片
因此，当在时刻域中将一个函数乘以一个指数函数时，在拉普拉斯变换后的 域中，这相配于出动（或平移）参数。这种成果固然看起来苟简，但本质上特地远大，况且在关系的文件中被反复使用。
一个迫切的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说，有
图片
拉普拉斯变换也不错应用于三角函数。举例，当咱们对函数 ()=sin()进行拉普拉斯变换时，咱们需要通过分部积分的门径进行屡次缠绵，并最终求解一个方程。经过这些缠绵之后，咱们不错获取一个特地有用的成果：
图片
拉普拉斯变换有一些特地有用且迫切的性质。其中，最基本且最迫切的性质之一是它是一个线性算子。线性算子的特点意味着拉普拉斯变换知足以下要求：
图片
其中F和G折柳是f和g的拉普拉斯变换。
另一个极其迫切的性质是拉普拉斯变换是一双一的映射，这意味着它有唯独的逆变换。即，无论咱们在一个全国中作念什么，在另一个全国中齐有平行的动作。
两个可积函数只须在它们在勒贝格推断为零的围聚上有所不同的情况下，才具有相通的拉普拉斯变换，而且逆变换的精准公式需要复杂的积分表面（玄虚积分）。
通过拉普拉斯变换讲授“全国上最好意思的方程”
以下被称为数学中最好意思的成果。这归功于莱昂哈德·欧拉，他向咱们展示了指数函数与三角函数的关系：
图片
频频咱们讲授欧拉公式的门径是通过张开指数函数的无限幂级数，并使用分派律的无限版块。这种门径固然灵验，但触及到一些复杂的本领性论证。因此，为了简化，许多作家在西席时会不详这些复杂的才气。
你可能不知说念的是，人才招聘咱们不错使用拉普拉斯变换来讲授上述欧拉的成果。
图片
当今咱们不错在双方取逆拉普拉斯变换获取
图片
其中咱们使用了逆变换的线性性质。将上述公式看行为三角函数的余弦和正弦：
图片
得证。
从微积分到代数再回到微积分
拉普拉斯变换最远大的性质之一是它将导数变为多项式。具体来说，有
图片
即在s域中乘以s对应于时刻空间中的微分。还有更高阶的访佛公式。举例：
图片
这些公式看起来苟简，但它们有能力将微分方程转机为多项式方程，而多项式方程要容易得多。在某些情况下，它们甚而将偏微分方程转机为常微分方程。
例子
假定咱们念念要解微分方程：
图片
驱动要求为f(0) = 0和f '(0) = 0。让咱们在双方取拉普拉斯变换
图片
通过代入驱动要求并建议F(s)，获取
图片
让咱们停驻来，看守以下2个迫切的点：
复杂的方程变苟简了：通过拉普拉斯变换，底本复杂的微分方程造成了一个苟简的函数界说。这使得问题变得更容易处理。
驱动要求编码到解中：在 s 域中，驱动要求被当然地包含在解中。因此，不需要荒芜的多个驱动要求，因为它们照旧被整合到一个方程里了。这意味着咱们只需要处理一个苟简的方程，而不是处理多个驱动要求。
当今，只需在双方取逆拉普拉斯变换来找到f。在履行中，咱们经常使用部分分式解析，但咱们也不错使用一个公式。
图片
固然拉普拉斯变换在处理微分方程时特地灵验，但这仅仅其应用的一个着手。拉普拉斯变换有许多其他豪阔见效的应用，但本文不会深化探讨这些内容。
更高等和奇特的用例
在s域中乘以s对应于微分，除以s对应于积分，成果讲授是更一般对应关系的特殊例子。
卷积（Convolutions）
在s域中两个函数F和G的乘积界说了时刻域中两个函数f和g的一种运算，称为卷积，记作f * g。凭据维基百科：
卷积在概率论、统计学、声学、光谱学、信号处理和图像处理、地球物理学、工程学、物理学、缠绵机视觉和微分方程中齐有应用。
正实数上的积分和狄利克雷积
拉普拉斯变换的一个特地有用的性质如下：
图片
让咱们尝试用这个公式来处理一个有名的贫瘠积分，称为狄利克雷积分。这个问题要求缠绵以下积分：
图片
这个例子在远大积分本领中就像“Hello， World” 相同，是一个苟简但能展示其基高兴趣和功能的经典示例。。咱们有：
图片
诈欺1/(x²+1)的反导数是arctan(x) + c，获取
图片
拉普拉斯级数
我一直期待着与人人共享以下内容。 咱们假定通盘的一般级数和积分齐管制。
假定有一个周期为P的周期函数f，况且它的傅里叶级数为
图片
那么咱们不错通过线性性获取f的拉普拉斯变换的级数：
图片
若是P = 2π，那么上述公式简化为
图片
其中a和b折柳是偶数和奇数的傅里叶总计。
我不知说念这个公式是否有称呼，因为我之前莫得见过它，是以我称之为拉普拉斯级数。若是它照旧有称呼，请告诉我。
让咱们尝试将其应用到一个例子中。在区间[0， 2π]内设f(t) = t，然后周期性延拓。该函数的图像如下：
图片
这个函数的傅里叶级数如下：
图片
咱们知说念，除了在不采集点（即t ∈ 2πℤ处，它恰恰等于π）以外，该函数与上头界说的锯齿函数相通。
在使用公式之前，我阅历了手工缠绵f的拉普拉斯变换的倒霉经由。通过对积分的无限级数乞降，获取
图片
由于f的傅里叶级数仅在推断为0的围聚上与f不同，咱们知说念上述公式恰恰等于f的拉普拉斯级数。即：
图片
其本质是，即使傅里叶级数在s域中也有一个平行的级数。这意味着每个（相对精致行动的）周期函数在时刻域中有一个傅里叶级数默示它，在复频域中有一个拉普拉斯级数默示它。
然则，咱们需要稍稍留神，因为拉普拉斯变换只变换正实数上的函数。它对负轴上的函数“一无所知”。
这个表面掀开了通晓数论边界的大门人才招聘，在这个边界，像左边这个级数诟谇常迫切的不息对象。
本站仅提供存储处事，通盘内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。- 上一篇：没有了
- 下一篇：没有了